Mouvement Perpétuel (3)

Je propose l'étude suivante du système

L'étude du piston à plat est la suivante:
 

On suppose le piston et le flotteur équilibrés à la surface de l'eau, à profondeur assez faible pour que la pression ambiante extérieure soit la pression atmosphérique P0.
F est la force d'archimède appliquée au flotteur. On va supposer dans la suite le flotteur indéformable. Donc son volume ne variera pas en fonction de la prression extérieure, et donc son volume ne changera pas: F sera alors constante. Cette approximation est parfaitement légitime (la hauteur du système à courroie est faible, ne se compte pas en centaines de mètres).
P est le poids de l'ensemble piston et flotteur.
Fa est la force d'archimède appliquée au piston. J'ai supposé que le volume des parois des composantes annexes du piston sont négligeables. Les intégrer ne fait que rendre le calcul un peu plus lourd même si le résultat reste inchangé.

On rappelle que la pression dans un fluide à une profondeur h de sa surface est: rho*g*h où rho est la masse volumique du fluide. Ici rho serala masse volumique de l'eau. la poussée d'archimède subie par un corps de volume V plongé dans le fluide est alors rho*g*V.

Enfin la loi des gazs parfaits (loi de mariotte) qui lie la pression au volume d'un gaz est: PV=nRT

On projette les vecteurs sur le vecteur horizontal i. On obtient:
 

En effet: Fa est la poussée d'Archimède subie par le piston ayant un volume initial V0 (à pression
atmosphérique P0). d'où:
 

On mémorise ce dernier résultat qui va nous servir plus loin.

Maintenant voyons l'ensemble du système de circulation de la courroie:
 

J'ai appelé ut le vecteur tangent à la surface de la courroie, orienté toujours dans le même sens

(sens supposé de la rotation). En chaque point M de la courroie, on a un vecteur tangent ut différent, qui est donc dépendant de la position du point.

Remarque: j'ai négligé la force de viscosité qui est la force de freinage dûe au mouvement supposé de l'ensemble dans l'eau. La force de freinage de viscosité (proportionnelle à la vitesse d'avancée) ne ferait que ralentir le système si il tournait; mais on va s'atteler à montrer qu'il ne tourne pas, donc pas besoin de ce handicap supplémentaire.

1ère phase:
 

On a écrit le bilan des forces qu'on projette selon ut (tangent à la surface de la courroie le long de la partie gauche du trajet). Ce qui donne:

 

On observe, comme cela paraît logique, que la force totale appliquée dans le sens de ut appelée Ftot est dépendante de la différence de volume entre le volume initial et le volume à l'endroit considéré.
V diminue de plus en plus au fur et à mesure de la descente, et donc V0-V>0, donc la force appliquée est bien positive dans le sens de ut: l'ensemble descend. Puis on écrit V0 et V à l'aide des pressions.

On rappelle que P=F/S où P est la pression, F la force appliquée et S la surface (la pression est la quantité de force par unité de surface). On va appeller S la surface d'échange du piston.
 

Etudions les forces appliquées sur la membrane du piston:
 

On note Fext la force dûe à la pression extérieure dans le liquide: c'ets la force dûe à l'effet cumulé de la pression atmosphérique au-dessus de l'eau et de la masse d'eau à la profondeur considérée (la pression dans un fluide dépend de la profondeur, et est constante à profondeur constante. Elle est égale à rho*g*h). On appelle P0 la pression atmosphérique et P la pression à l'intérieur du piston. Elle se traduit par une force intérieure appliquée sur la membrane.

 

On a donc réussi à exprimer la pression P à l'intérieur en fonction de la profondeur h et de constantes (Pf est une constante égale à F/S sachant que F est constante, nous l'avons expliqué. au tout début)

En intégrant ce résultat avec celui qu'on avait auparavant on a:
 

2ème phase:
On fait le même genre d'étude avec le piston dans la partie "remontée", la partie droite du trajet:

le piston a le flotteur vers le haut.
 

le même genre d'étude donne (il faut le vérifier en refaisant la même chose):
 

3ème phase:
On va maintenant s'occuper de ce qui se passe dans les parties arrondies hautes et basses. Pour cela on va considérer le piston en position de travers lorsqu'il arrive en haut à droite de sa course.
 

On s'occupe de la partie de la force qui travaille le long de la courroie: la résultante des forces
projetées le long de ut. On appelle Ftotprojeté la projection de Ftot sur ut. Je note theta l'angle

entre un vecteur fixé appelé u ici et le vecteur normal à la surface (représenté par le fond du piston) theta varie de 0 compris à 2pi non compris.

 

On voit que Ftotprojeté est égal à Ftot*cos(theta). Lorsque theta=0 ou theta=pi, donc sur les portions droites du trajet (descente et montée) on trouve alors Ftot (cos 0=1 et cos pi = 1), ce qui est logique car dans ces parties là, Ftot est entièrement dirigée le long de ut donc Ftot=Ftotprojeté.

Etudions ce qui se passe au niveau de la membrane du piston:
 

On projette les forces en présence le long de l'axe de symétrie de l'ensemble piston+flotteur:
 

On reprend le résultat de Ftotprojeté obtenu précédemment et on remplace P par l'expression nouvellement trouvée:
 

Puis enfin on va considérer le trajet d'ensemble, et quelques caractéristiques qui vons nous intéresser pour relier theta avec h:
 

On a donc défini h1 et h2. ceci nous permet d'écrire enfin Ftotprojeté. Voilà ce qu'on obtient ainsi qur la partie haute arrondie:
 

En faisant le même raisonnement mais pour la partie d'en bas on obtient (le vérifier):
 

BILAN:
On a donc réussi à obtenir les résultats suivants, qui sont cohérents entre eux. En effet en prenant les expressions avec theta et en considérant ce qui se passe pour theta=0 ou theta=pi on obtient les formules des parties rectilignes ce qui est cohérent:

theta=0, h2<h<h1 (h va dans le sens décroissant) partie rectiligne de montée:
 

0<theta<pi: partie arrondie haute (theta varie)
 

theta=pi, h1<h<h2 partie rectiligne de descente(h varie)
 

pi<theta<2*pi: partie arrondie haute (theta varie)
 

Dernière phase:
On connaît l'expression de la force appliquée le long du chemin de la courroie en n'importe quel point. On se demande si la force appliquée permet de faire tourner l'ensemble ou pas. La question est donc de savoir si la force effectue un travail le long du chemin.
En effet, le calcul du travail de la force le long du chemin donen l'accroissement d'énergie. On rappelle que accroissement d'énergie = somme des travaux des forces.

Le calcul du travail se fait par:

dl représente l'élement de chemin infinitésimal. Puisque Ftot est le long du chemin, le produit scalaire de F et dl est donc égal à Ftot * ut scalaire dl et comme ut est unitaire le long du chemin, ut scalaire dl = 1.

Donc le travail se calcule par intégration de Ftot le long du chemin.

Je fais faire le calcul par Maple (logiciel de calcul formel), l'intégration se faisant sur theta pour les parties arrondies et sur h pour les parties rectilignes.

Travail sur les parties arrondies:
 

La somme des deux intégrales vaut 0. Chaque intégrale vaut aussi 0 d'ailleurs. Ce qui veut dire que le travail est nul sur les parties hautes et basses, arrondies. Donc sur ces parties là les travaux des forces se compensent.

Travail sur les parties rectilignes:
 

Là aussi la somme vaut 0, mais le travail sur chaque partie est non nul (normal puisqu'on descend ou qu'on monte). N'empêche la somme des deux donne une intégrale entre h1 et h1 de rho*g, qui vaut 0.Donc les travaux se compensent.

Il restera à chercher l'interprétation physique de ce fait (il doit y avoir quelque part sur ce chemin un renversement des forces pour compenser le travail effectué, mais je ne vois pas où, peut être à cause de la masse des pistons à soulever, je en sais pas, je n'y ai pas vraiment réfléchi encore). 

On conclue que le travail total effectué par la force appliquée le long de la courroie sur un tour
est nul. Ce qui veut dire qu'il n'y a aucun apport d'énergie à la courroie sur un tour. Le système ne peut donc pas fonctionner en continu (il doit s'établir une position d'équilibre de l'ensemble en quelques fractions de secondes, dans laquelle l'énergie produite par le mouvement pour la mise en équilibre est ensuite consommée afin de mettre le système en position d'équilibre d'où il ne bougera pas.

Dans le cas idéal sans frottement et sans autres subtilités le système ne gagne aucune énergie. Avec les autres contraintes en plus il en perd!

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